հանրահաշիվ — Իռեն Շահրամանյան 10․1 դասարան

Քառակուսային հավասարման լուծումը 2

632. Լուծեք հավասարումը.

ա) x² − 6x + 8 = 0
D = b²− 4ac = 36 – 32 = 4
x₁ = (-b + √D)/2a = (6 + 2)/2 = 4
x₂ = (-b – √D)/2a = (6 – 2)/2 = 2

բ) x² − 2x − 15 = 0
D = b²− 4ac = 4 + 60 = 64
x₁ = (-b + √D)/2a = (2 + 8)/2 = 5
x₂ = (-b – √D)/2a = (2 – 8)/2 = -3

գ) x² + 6x + 8 = 0
D = b²− 4ac = 36 – 32 = 4
x₁ = (-b + √D)/2a = (-6 + 2)/2 = -2
x₂ = (-b – √D)/2a = (-6 – 2)/2 = -4

դ) x² + 2x − 15 = 0
D = b²− 4ac = 4 + 60 = 64
x₁ = (-b + √D)/2a = (-2 + 8)/2 = 3
x₂ = (-b – √D)/2a = (-2 – 8)/2 = -5

ե) x² + 20x + 51 = 0
D = b²− 4ac = 400 – 204 = 196
x₁ = (-b + √D)/2a = (-20 + 14)/2 = -3
x₂ = (-b – √D)/2a = (-20 – 14)/2 = 17

զ) x² − 22x − 23 = 0
D = b²− 4ac = 484 + 92 = 576
x₁ = (-b + √D)/2a = (22 + 24)/2 = 23
x₂ = (-b – √D)/2a = (22 – 24)/2 = -1

է) x² − 20x + 69 = 0
D = b²− 4ac = 400 – 276 = 124
x₁ = (-b + √D)/2a = (20 + √124)/2 = 15,5
x₂ = (-b – √D)/2a = (20 – √124)/2 = 4,4

ը) x² + 22x + 21 = 0
D = b²− 4ac = 484 – 84 = 400
x₁ = (-b + √D)/2a = (-22 + 20)/2 = -1
x₂ = (-b – √D)/2a = (-22 – 20)/2 = -21

633. Լուծեք հավասարումը.

ա) x² − 4x + 4 = 0
D = b²− 4ac = 16 – 16 = 0
x_1,2 = (-b + √D)/2a = (4 ± 0)/2 = 2

բ) x² − 8x + 20 = 0
D = b²− 4ac = 64 – 80 = -16
Արամտ չկա

գ) x² − 5/2x + 1 = 0
D = b²− 4ac = 25/4 – 4 = 2,25
x₁ = (-b + √D)/2a = (2,5 + 1,5)/2 = 2
x₂ = (-b – √D)/2a = (2,5 – 1,5)/2 = 0,5

դ) x² + 10/3x + 1 = 0
D = b²− 4ac = 100/9 – 4 = 7,(1)
x₁ = (-b + √D)/2a = (-3,(3) + √7,(1))/2 = -0,3
x₂ = (-b – √D)/2a = (-3,(3) – √7,(1))/2 = -3

ե) x² + 16x + 48 = 0
D = b²− 4ac = 256 – 192 = 64
x₁ = (-b + √D)/2a = (-16 + 8)/2 = -4
x₂ = (-b – √D)/2a = (-16 – 8)/2 = -12

զ) x² − 9x − 22 = 0
D = b²− 4ac = 81 + 88 = 169
x₁ = (-b + √D)/2a = (9 + 13)/2 = 11
x₂ = (-b – √D)/2a = (9 – 13)/2 = -2

է) x² + 8x + 71 = 0
D = b²− 4ac = 64 – 284 = -220
Արմատ չկա

ը) x² + 12x + 40 = 0
D = b²− 4ac = 144 – 160 = -16
Արմատ չկա

634. Լուծեք հավասարումը.

ա) x² − x − 2 = 2
x² − x − 4 = 0
D = b²− 4ac = 1 + 16 = 17
x₁ = (-b + √D)/2a = (1 + √17)/2 = 2,5
x₂ = (-b – √D)/2a = (1 – √17)/2 = -1,5

բ) x² − 5x − 24 = 0
D = b²− 4ac = 25 + 96 = 121
x₁ = (-b + √D)/2a = (5 + 11)/2 = 8
x₂ = (-b – √D)/2a = (5 – 11)/2 = -3

գ) x² − 3x + 2 = 0
D = b²− 4ac = 9 – 8 = 1
x₁ = (-b + √D)/2a = (3 + 1)/2 = 2
x₂ = (-b – √D)/2a = (3 – 1)/2 = 1

դ) x² − 13x + 42 = 0
D = b²− 4ac = 169 – 168 = 1
x₁ = (-b + √D)/2a = (13 + 1)/2 = 7
x₂ = (-b – √D)/2a = (13 – 1)/2 = 6

ե) x² + x − 2 = 0
D = b²− 4ac = 1 + 8 = 9
x₁ = (-b + √D)/2a = (-1 + 3)/2 = 1
x₂ = (-b – √D)/2a = (-1 – 3)/2 = -2

զ) x² − x − 6 = 0
D = b²− 4ac = 1 + 24 = 25
x₁ = (-b + √D)/2a = (1 + 5)/2 = 3
x₂ = (-b – √D)/2a = (1 – 5)/2 = 2

է) x² + 14x + 48 = 0
D = b²− 4ac = 196 – 192 = 4
x₁ = (-b + √D)/2a = (-14 + 2)/2 = -6
x₂ = (-b – √D)/2a = (-14 – 2)/2 = -8

ը) x² + 17x + 66 = 0
D = b²− 4ac = 289 – 264 = 25
x₁ = (-b + √D)/2a = (-17 + 5)/2 = -6
x₂ = (-b – √D)/2a = (-17 – 5)/2 = -11

Քառակուսային հավասարման լուծումը

616. Լուծեք հավասարումը.

ա) x² − 6x + 8 = 0
D = b²− 4ac = 36 – 32 = 4
x₁ = (-b + √D)/2a = (6 + 2)/2 = 4
x₂ = (-b – √D)/2a = (6 – 2)/2 = 2

բ) x² + 5x + 6 = 0
D = b²− 4ac = 25 – 24 = 1
x₁ = (-b + √D)/2a = (-5 + 1)/2 = -2
x₂ = (-b – √D)/2a = (-5 – 1)/2 = -3

գ) x² − x − 2 = 0
D = b²− 4ac = 1 + 8 = 9
x₁ = (-b + √D)/2a = (1 + 3)/2 = 2
x₂ = (-b – √D)/2a = (1 – 3)/2 = -1

դ) x² + x − 6 = 0
D = b²− 4ac = 1 + 24 = 25
x₁ = (-b + √D)/2a = (1 + 5)/2 = 3
x₂ = (-b – √D)/2a = (1 – 5)/2 = -2

ե) x² + 4x + 15 = 0
D = b²− 4ac = 16 – 60 = -44
Արմատ չունի

զ) x² + 4x + 4 = 0
D = b²− 4ac = 16 – 16 = 0
x_1,2 = (-b + √D)/2a = (-4 ± 0)/2 = -2

է) 5x² + 8x − 9 = 0
D = b²− 4ac = 64 + 180 = 244
x₁ = (-b + √D)/2a = (-8 + 15,6)/10 = 0,76
x₂ = (-b – √D)/2a = (-8 – 15,6)/10 = -2,36

ը) 4x² − 8x + 3 = 0
D = b²− 4ac = 64 – 48 = 16
x₁ = (-b + √D)/2a = (8 + 4)/8 = 1,5
x₂ = (-b – √D)/2a = (8 – 4)/8 = 0,5

թ) 3x² − 5x − 2 = 0
D = b²− 4ac = 25 + 24 = 49
x₁ = (-b + √D)/2a = (5 + 7)/6 = 2
x₂ = (-b – √D)/2a = (5 – 7)/6 = -0,(3)

ժ) 5x² − 6x + 1 = 0
D = b²− 4ac = 36 – 20 = 16
x₁ = (-b + √D)/2a = (6 + 4)/10 = 1
x₂ = (-b – √D)/2a = (6 – 4)/10 = 0,2

617. Լուծեք հավասարումը՝ նախապես հավասարման երկու մասերը բազմապատկելով այնպիսի թվով, որ նրա գործակիցները դառնան ամբողջ թվեր.

ա) x² − 1/2x – 1/2 = 0
2x² − x – 1 = 0
D = b²− 4ac = 1 + 8 = 9
x₁ = (-b + √D)/2a = (1 + 3)/4 = 1
x₂ = (-b – √D)/2a = (1 – 3)/4 = -0,5

բ) x² − 3/4x + 1/8 = 0
8x² − 6x + 1 = 0
D = b²− 4ac = 36 – 32 = 4
x₁ = (-b + √D)/2a = (6 + 2)/16 = 0,5
x₂ = (-b – √D)/2a = (6 – 2)/16 = 0,25

գ) x² − 8 – x/3 = 0
3x² − 24 – x = 0
D = b²− 4ac = 576 + 12 = 588
x₁ = (-b + √D)/2a = (24 + 24)/6 = 8
x₂ = (-b – √D)/2a = (24 – 24)/6 = 0

դ) x² + x/7 – 50 = 0
7x² + x – 350 = 0
D = b²− 4ac = 1 + 9800 = 9801
x₁ = (-b + √D)/2a = (-1 + 99)/14 = 7
x₂ = (-b – √D)/2a = (-1 – 99)/14 = -7

ե) x² − 2,5x + 1 = 0
2x² – 5x + 2 = 0
D = b²− 4ac = 25 – 16 = 9
x₁ = (-b + √D)/2a = (5 + 3)/4 = 2
x₂ = (-b – √D)/2a = (5 – 3)/4 = 0,5

զ) x² − 26/5x + 1 = 0
5x² – 26x + 5 = 0
D = b²− 4ac = 676 – 100 = 576
x₁ = (-b + √D)/2a = (26 + 24)/10 = 5
x₂ = (-b – √D)/2a = (26 – 24)/10 = 0,2

618. Լուծեք հավասարումը.

ա) 2x² = 5 + 3x
2x² – 3x – 5 = 0
D = b²− 4ac = 9 + 40 = 49
x₁ = (-b + √D)/2a = (3 + 7)/4 = 2,5
x₂ = (-b – √D)/2a = (3 – 7)/4 = -1

բ) −x² + 14x − 48 = 0
D = b²− 4ac = 196 – 192 = 4
x₁ = (-b + √D)/2a = (-14 + 2)/-2 = 6
x₂ = (-b – √D)/2a = (-14 – 2)/-2 = 8

գ) −7x² + 2x = −329
−7x² + 2x + 329 = 0
D = b²− 4ac = 4 + 9212 = 9216
x₁ = (-b + √D)/2a = (-2 + 96)/-14 = -47/7
x₂ = (-b – √D)/2a = (-2 – 96)/-14 = 7

դ) x² + x − 5 = 0
D = b²− 4ac = 1 + 20 = 21
x₁ = (-b + √D)/2a = (-1 + √21)/2 = 1,3
x₂ = (-b – √D)/2a = (-1 – √21)/2 = -3,3

ե) 2x² − 17x − 9 = 0
D = b²− 4ac = 289 + 72 = 361
x₁ = (-b + √D)/2a = (17 + 19)/4 = 9
x₂ = (-b – √D)/2a = (17 – 19)/4 = -0,5

զ) 7x² + 13x − 3 = 0
D = b²− 4ac = 169 + 84 = 253
x₁ = (-b + √D)/2a = (-13 + √253)/14 = -11,8
x₂ = (-b – √D)/2a = (-13 – √253)/14 = -14

է) 9x² − 20 = 24x
9x² − 20 – 24x = 0
D = b²− 4ac = 576 + 720 = 1296
x₁ = (-b + √D)/2a = (24 + 36)/18 = 3,(3)
x₂ = (-b – √D)/2a = (24 – 36)/18 = -0,(6)

ը) 4x² − 4x = 15
4x² − 4x – 15 = 0
D = b²− 4ac = 16 + 240 = 256
x₁ = (-b + √D)/2a = (4 + 16)/8 = 2,5
x₂ = (-b – √D)/2a = (4 – 16)/8 = -1,5

621. Լուծեք հավասարումը.

ա) x² + 6x + 8 = 0
D = b²− 4ac = 36 – 32 = 4
x₁ = (-b + √D)/2a = (-6 + 2)/2 = -2
x₂ = (-b – √D)/2a = (-6 – 2)/2 = -4

բ) x² − 10x + 9 = 0
D = b²− 4ac = 100 – 36 = 64
x₁ = (-b + √D)/2a = (10 + 8)/2 = 9
x₂ = (-b – √D)/2a = (10 – 8)/2 = 1

գ) x² − 3x = 1,75
x² − 3x – 1,75 = 0
D = b²− 4ac = 9 + 7 = 16
x₁ = (-b + √D)/2a = (3 + 4)/2 = 3,5
x₂ = (-b – √D)/2a = (3 – 4)/2 = -0,5

դ) x² + x = 2
x² + x – 2 = 0
D = b²− 4ac = 1 + 8 = 9
x₁ = (-b + √D)/2a = (-1 + 3)/2 = 1
x₂ = (-b – √D)/2a = (-1 – 3)/2 = -2

ե) x² − 6x + 6 = 0
D = b²− 4ac = 36 – 24 = 12
x₁ = (-b + √D)/2a = (6 + √12)/2 = 4,7
x₂ = (-b – √D)/2a = (6 – √12)/2 = 1,2

զ) x² + 8x + 2 = 0
D = b²− 4ac = 64 – 8 = 56
x₁ = (-b + √D)/2a = (-8 + √56)/2 = -0,25
x₂ = (-b – √D)/2a = (-8 – √56)/2 = -7,7

է) x² − 3x + 1 = 0
D = b²− 4ac = 9 – 4 = 5
x₁ = (-b + √D)/2a = (3 + √5)/2 = 2,6
x₂ = (-b – √D)/2a = (3 – √5)/2 = 0,38

ը) x² − 5x − 1 = 0
D = b²− 4ac = 25 + 4 = 29
x₁ = (-b + √D)/2a = (5 + √29)/2 = 5,2
x₂ = (-b – √D)/2a = (5 – √29)/2 = -0,2

թ) x² + 8x + 15 = 0
D = b²− 4ac = 64 – 60 = 4
x₁ = (-b + √D)/2a = (-8 + 2)/2 = -3
x₂ = (-b – √D)/2a = (-8 – 2)/2 = -5

ժ) x² + 5x − 6 = 0
D = b²− 4ac = 25 + 24 = 49
x₁ = (-b + √D)/2a = (-5 + 7)/2 = 1
x₂ = (-b – √D)/2a = (-5 – 7)/2 = -6

Թերի քառակուսային հավասարումներ

600. Լուծեք հավասարումը.

ա) 3(x² − 1) = 0
x² – 1 = 0
x² = 1
x = 1

բ) 2x² = 0
x² = 0
x = 0

գ) x(x − 1) = 0
[x = 0 [x = 0
[x – 1 = 0 [x = 1

դ) (x + 3)x = 0
[x + 3 = 0 [x = -3
[x = 0 [x = 0

ե) (x − 3)(x + 2) = 0
[x – 3 = 0 [x = 3
[x + 2 = 0 [x = -2

զ) (x + 5)(x − 7) = 0
[x + 5 = 0 [x = -5
[x – 7 = 0 [x = 7

է) 3x(x − 0,5) = 0
[3x = 0 [x = 0
[x – 0,5 = 0 [x = 0,5

ը) 0,5x(2 + x) = 0
[0,5x = 0 [x = 0
[2 + x = 0 [x = -2

թ) 3(x − 8)(5 + x) = 0
[x – 8 = 0 [x = 8
[5 + x = 0 [x = -5

ժ) 0,8(x + 1)(x − 4) = 0
[x + 1 = 0 [x = -1
[x – 4 = 0 [x = 4

601. Լուծեք հավասարումը.

ա) x² − 4x = 0
x(x – 4) = 0
[x = 0 [x = 0
[x – 4 = 0 [x = 4

բ) x² + 6x = 0
x(x + 6) = 0
[x = 0 [x = 0
[x + 6 = 0 [x = -6

գ) 3x² + x = 0
x(3x + 1) = 0
[x = 0 [x = 0
[3x + 1 = 0 [x = -1/3

դ) x² − 0,5x = 0
x(x – 0,5) = 0
[x = 0 [x = 0
[x – 0,5 = 0 [x = 0,5

ե) 2x + 3x² = 0
x(2 + 3x) = 0
[x = 0 [x = 0
[2 + 3x = 0 [x = -2/3

զ) x − 2x = 0
x(1 – 2) = 0
x = 0

է) 7x² = 5x
7x² – 5x = 0
x(7x – 5) = 0
[x = 0 [x = 0
[7x – 5 = 0 [x = 5/7

ը) 3x = 11x²
3x – 11x² = 0
x(3 – 11x) = 0
[x = 0 [x = 0
[3 – 11x = 0 [x = 3/11

թ) 1/2x² − 3x = 0
x(1/2x – 3) = 0
[x = 0 [x = 0
[1/2x – 3 = 0 [x = 1,5

602. Լուծեք հավասարումը.

ա) 2x² = 3
x² = 1,5
x² − 1,5 = 0
x² − (√1,5)² = 0
(x − √1,5)(x + √1,5) = 0
x₁ = √1,5
x₂ = −√1,5

բ) x² − 9 = 0
(x – 3)(x + 3) = 0
[x – 3 = 0 [x = 3
[x + 3 = 0 [x = -3

գ) x² − 25 = 0
(x – 25)(x + 25) = 0
[x – 25 = 0 [x = 25
[x + 25 = 0 [x = -25

դ) 16 − x² = 0
(4 – x)(4 + x) = 0
[4 – x = 0 [x = 4
[4 + x = 0 [x = -4

ե) 49 − x² = 0
(49 – x)(49 + x) = 0
[7 – x = 0 [x = 7
[7 + x = 0 [x = -7

զ) 3 + x² = 0

է) 8 − 2x² = 0
2x² = 8
x² = 4
x² – 4 = 0
(x – 2)(x + 2) = 0
[x – 2 = 0 [x = 2
[x + 2 = 0 [x = -2

ը) 3 − 12x² = 0
12x² = 3
x² = 0,25
x² – 0,25 = 0
(x – 0,5)(x + 0,5) = 0
[x – 0,5 = 0 [x = 0,5
[x + 0,5 = 0 [x = -0,5

թ) 7 = 28x²
x² = 4
x² – 4 = 0
(x – 2)(x + 2) = 0
[x – 2 = 0 [x = 2
[x + 2 = 0 [x = -2

ժ) 1/4 + x² = 0

ի) x² − 4/9 = 0
(x – 2/3)(x + 2/3) = 0
[x – 2/3 = 0 [x = 2/3
[x + 2/3 = 0 [x = -2/3

603. Լուծեք հավասարումը.

ա) x² − 3 = 0
(x – √3)(x + √3) = 0
[x – √3 = 0 [x = √3
[x + √3 = 0 [x = -√3

բ) x² − 5 = 0
(x – √5)(x + √5) = 0
[x – √5 = 0 [x = √5
[x + √5 = 0 [x = -√5

գ) 1/3x² − 1 = 0
(x – √1/3)(x + √1/3) = 0
[x – √1/3 = 0 [x = √1/3
[x + √1/3 = 0 [x = -√1/3

դ) 1/5x² − 10 = 0
(x – √1/5)(x + √1/5) = 0
[x – √1/5 = 0 [x = √1/5
[x + √1/5 = 0 [x = -√1/5

ե) 4x² − 3 = 0
x² = 3/4
x² − 3/4 = 0
(x – √3/4)(x + √3/4) = 0
[x – √3/4 = 0 [x = √3/4
[x + √3/4 = 0 [x = -√3/4

զ) 5x² + 2 = 0
x² = -2/5
x² + 2/5 = 0

է) x² = 2304
x² – 2304 = 0
(x – 48)(x + 48) = 0
[x – 48 = 0 [x = 48
[x + 48 = 0 [x = -48

ը) x² − 31,36 = 0
(x – 5,6)(x + 5,6) = 0
[x – 5,6 = 0 [x = 5,6
[x + 5,6 = 0 [x = -5,6

թ) 0,001x² = 40
x² = 40000
(x – 200)(x + 200) = 0
[x – 200 = 0 [x = 200
[x + 200 = 0 [x = -200

Քառակուսային հավասարում

Քառակուսային հավասարում
ax²+ bx + c = 0
a ≠ 0

b = 0, ax²+ c = 0
c = 0, ax²+ bx = 0

Եռանդամի տարբերիչ կամ դիսկրիմինանտ
D = b²− 4ac
D > 0
D < 0
D = 0

x₁ = (-b + √D)/2a
x₂ = (-b – √D)/2a

Օրինակ
x²– 4x + 4 = 0
a = 1, b = -4, c = 4
D = 16 – 16 = 0
x₁ = (4 + 0)/2 = 2
x₂ = (4 – 0)/2 = 2
4 – 4 · 2 + 4 = 0

587. Ո՞ր հավասարումն են անվանում քառակուսային հավասարում:

1) 3x² − 2x + 1 = 0 – քառակուսային հավասարում
2) 4 = x² – քառակուսային հավասարում
3) 2x − 8 = 0
4) x(x − 1) = 3 – քառակուսային հավասարում
5) 1/x – 2 = 0
6) x² + 3x = 0 – քառակուսային հավասարում
7) −0,5x + 3x² − 7 = 0 – քառակուսային հավասարում
8) 12x − 3x² + 5 = 0 – քառակուսային հավասարում

589. Անվանեք քառակուսային հավասարման անդամենրը, x²-ու և x-ի գործակիցները և ազատ անդամը.

ա) 2x² + 3x − 5 = 0
a = 2
b = 3
c = 15

բ) x² − 5x + 1 = 0
a = 1
b = -5
c = 1

գ) x² − 9 = 0
a = 1
b = 0
c = -9

դ) x² − 9x = 0
a = 1
b = -9
c = 0

590. Կազմեք ax²+ bx + c = 0 քառակուսային հավասարում, եթե նրա գործակիցները հավասար են.

ա) a = 2, b = 3, c = 4
2x²+ 3x + 4 = 0

բ) a = 3, b = −3, c = 1
3x²– 3x + 1 = 0

գ) a = −1, b = 0,5, c = 1/3
-1x²+ 0,5x + 1/3 = 0

դ) a = 5, b = 2, c = 0
5x²+ 2x = 0

ե) a = 1, b = 0, c = 7
1x²+ 7 = 0

զ) a = -1/3, b = 0, c = −8
-1/3x² – 8 = 0

591. Հաշվեք քառակուսային հավասարման տարբերակիչը․

ա) 2x² − 3x − 5 = 0
D = b²− 4ac = 9 + 40 = 49

բ) x² + 5x + 1
D = b²− 4ac = 25 – 20 = 5

գ) 9x² − 6x + 1 = 0
D = b²− 4ac = 36 – 36 = 0

դ) x² + x + 1 = 0
D = b²− 4ac = 1 – 4 = -3

592. Ստուգեք՝ 0 թիվը հավասարման արմա՞տ է:

ա) x² − 5x = 0
D = b²− 4ac = 25 – 0 = 25
x₁ = (-b + √D)/2a = (5 + 5)/2 = 5
x₂ = (-b – √D)/2a = (5 – 5)/2 = 0
այո

բ) x² + 1 = 0
D = b²− 4ac = 0 – 4 = -4
Լուծում չունի
ոչ

գ) 5x² − 6x + 1 = 0
D = b²− 4ac = 36 – 20 = 16
x₁ = (-b + √D)/2a = (6 + 4)/10 = 1
x₂ = (-b – √D)/2a = (6 – 4)/10 = 0,2
ոչ

դ) x² − 5 = 0
D = b²− 4ac = 0 + 20 = 20
x_1,2 = (-b + √D)/2a = (0 ± 4,4)/2 = 2,2
ոչ

ե) x² + x = 0
D = b²− 4ac = 1 – 0 = 1
x₁ = (-b + √D)/2a = (-1 + 1)/2 = 0
x₂ = (-b – √D)/2a = (-1 – 1)/2 = -1
այո

զ) x² + 10x + 0,1 = 0
D = b²− 4ac = 100 – 0,4 = 99,6
x₁ = (-b + √D)/2a = (-10 + 9,9)/2 = -0,05
x₂ = (-b – √D)/2a = (-10 – 9,9)/2 = -9,95
ոչ

593. Ստուգեք՝ 1 և -1 թվերից գոնե մեկը հավասարման արմա՞տ է:

ա) x² + x = 0
D = b²− 4ac = 1 – 0 = 1
x₁ = (-b + √D)/2a = (-1 + 1)/2 = 0
x₂ = (-b – √D)/2a = (-1 – 1)/2 = -1
այո

բ) x² − 5x + 4 = 0
D = b²− 4ac = 25 – 16 = 9
x₁ = (-b + √D)/2a = (5 + 3)/2 = 4
x₂ = (-b – √D)/2a = (5 – 3)/2 = 1
այո

գ) x² − 4x + 4 = 0
D = b²− 4ac = 16 – 16 = 0
x_1,2 = (-b + √D)/2a = (4 ± 0)/2 = 2
ոչ

դ) x² − x = 0
D = b²− 4ac = 1 – 0 = 1
x₁ = (-b + √D)/2a = (1 + 1)/2 = 1
x₂ = (-b – √D)/2a = (1 – 1)/2 = 0
այո

ե) x² + 6x + 5 = 0
D = b²− 4ac = 36 – 20 = 16
x₁ = (-b + √D)/2a = (6 + 4)/2 = 5
x₂ = (-b – √D)/2a = (6 – 4)/2 = 1
այո

զ) x² − 1 = 0
D = b²− 4ac = 0 + 4 = 4
x₁ = (-b + √D)/2a = (0 + 2)/2 = 1
x₂ = (-b – √D)/2a = (0 – 2)/2 = 1
այո

Քառակուսային եռանդամի գաղափարը

Քառակուսային եռանդամ
ax²+ bx + c
a ≠ 0

Թերի եռանդամ
b = 0, ax²+ c
c = 0, ax²+ bx

Եռանդամի տարբերիչ կամ դիսկրիմինանտ
D = b²− 4ac
D > 0
D < 0
D = 0

ax²+ bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)
x₁ = (-b + √D)/2a
x₂ = (-b – √D)/2a

2x²– 5x + 3
a = 2, b = -5, c = 3
D = 25+ 24 = 1
x₁ = (5 + 1)/4 = 3/2 = 1,5
x₂ = (5 – 1)/4 = 4/4 = 1
2x²– 5x + 3 = a(x – 1,5)(x – 1)

571. Անվանեք քառակուսի եռանդամի a, b և c գործակիցները․

ա) 3x² + 4x + 5
a = 3
b = 4
c = 5

բ) 2x² − 5x − 7
a = 2
b = -5
c = -7

գ) −5x² + 3x − 1
a = -5
b = 3
c = -1

դ) 6x² + x − 2
a = 6
b = 1
c = -2

ե) x² − x + 7
a = 1
b = -1
c = 7

զ) −x² + x + 1
a = -1
b = 1
c = 1

572. Կազմեք քառակուսային եռանդամ տված գործակիցներով․

ա) a = 3, b = 4, c = 5
3x²+ 4x + 5

բ) a = 3, b = −2, c = 6
3x²– 2x + 6

գ) a = 1, b = −1, c = 2
1x²– x + 2

դ) a = −1, b = 3, c = −2
-x²+ 3x -2

573. Հաշվեք քառակուսային եռանդամի տարբերիրը.

ա) 2x² + 5x + 3
D = b²− 4ac = 25 – 24 = 1

բ) 2x² − 5x + 3
D = b²− 4ac = 25 – 24 = 1

գ) 2x² + 5x − 3
D = b²− 4ac = 25 + 24 = 49

դ) 2x² − 5x − 3
D = b²− 4ac = 25 + 24 = 49

ե) x² − 4x + 5
D = b²− 4ac = 16 – 20 = -4

զ) x² + 6x + 9
D = b²− 4ac = 36 – 36 = 0

է) x² + 2x + 1
D = b²− 4ac = 4 – 4 = 0

ը) −3x² + 5x − 2
D = b²− 4ac = 25 – 24 = 1

թ) x² + 2x + 2
D = b²− 4ac = 4 – 8 = -4

577. Պարզեք՝ վերլուծվո՞ւմ է արդյոք քառակուսային եռանդամը գծային արտադրիչների․

ա) x² − 4x + 3
D = b²− 4ac = 16 – 12 = 4
x₁ = (-b + √D)/2a = (4 + 2)/2 = 3
x₂ = (-b – √D)/2a = (4 – 2)/2 = 1
x²– 4x + 3 = (x – 3)(x – 1)

բ) x² − 4x + 4
D = b²− 4ac = 16 – 16 = 0
x₁ = (-b + √D)/2a = (4 + 0)/2 = 2
x₂ = (-b – √D)/2a = (4 – 0)/2 = 2
x² − 4x + 4 = (x – 2)(x – 2)

գ) x² + 4x + 5
D = b²− 4ac = 16 – 20 = -4

դ) 3x² − 4x + 1
D = b²− 4ac = 16 – 12 = 4
x₁ = (-b + √D)/2a = (4 + 2)/6 = 1
x₂ = (-b – √D)/2a = (4 – 2)/6 = 1/3
3x² − 4x + 1 = 3(x – 1)(x – 1/3)

ե) 5x² − 6x + 1
D = b²− 4ac = 36 – 20 = 16
x₁ = (-b + √D)/2a = (6 + 4)/10 = 1
x₂ = (-b – √D)/2a = (6 – 4)/10 = 0,2
5x² − 6x + 1 = 5(x – 1)(x – 0,2)

զ) 4x² + 4x + 2
D = b²− 4ac = 16 – 36 = -20

578. Քառակուսային եռանդամը վերլուծեք գծային արտադրիչների.

ա) 2x² − 5x + 3
D = b²− 4ac = 25 – 24 = 1
x₁ = (-b + √D)/2a = (5 + 1)/4 = 1,5
x₂ = (-b – √D)/2a = (5 – 1)/4 = 1
2x² − 5x + 3 = 2(x – 1,5)(x – 1)

բ) 3x² + 5x − 2
D = b²− 4ac = 25 + 24 = 49
x₁ = (-b + √D)/2a = (-5 + 7)/6 = 1/3
x₂ = (-b – √D)/2a = (-5 – 7)/6 = -2
3x² + 5x − 2 = 2(x – 1/3)(x + 2)

գ) 5x² − 2x − 3
D = b²− 4ac = 4 + 60 = 64
x₁ = (-b + √D)/2a = (2 + 8)/10 = 1
x₂ = (-b – √D)/2a = (2 – 8)/10 = -0,6
5x² − 2x − 3 = 5(x – 1)(x + 0,6)

դ) x² − 7x + 6
D = b²− 4ac = 49 – 24 = 25
x₁ = (-b + √D)/2a = (7 + 5)/2 = 6
x₂ = (-b – √D)/2a = (7 – 5)/2 = 1
x² − 7x + 6 = (x – 6)(x + 1)

ե) x² + 6x − 7
D = b²− 4ac = 36 + 28 = 64
x₁ = (-b + √D)/2a = (-6 + 8)/2 = 1
x₂ = (-b – √D)/2a = (-6 – 8)/2 = -7
x² + 6x − 7 = (x – 1)(x + 7)

զ) x² + x − 2
D = b²− 4ac = 1 + 8 = 9
x₁ = (-b + √D)/2a = (-1 + 3)/2 = 1
x₂ = (-b – √D)/2a = (-1 – 3)/2 = -2
x² + x − 2 = (x – 1)(x + 2)

Արմատանշաների համեմատություն

745. Համեմատեք արտահայտությունների արժեքները (առանց արմատը հաշվելու)․

ա) 5√12 > 3√27
5√12 = √25 · √12 = √300
3√27 = √9 · √27 = √243
√300 > √243

բ) √27 > 3√2
3√2 = √9 · √2 = √18
√27 > √18
գ) 2√50 < 3√32
2√50 = √4 · √50 = √200
3√32 = √9 · √32 = √288
√200 < √288

դ) √(3/8) < √(3/2)
√(3/8) = √0,375
√(3/2) = √1,5
√0,375 < √1,5

ե) 2√(4/75) < 3√(25/243)
2√(4/75) = √4 · √0,08 = √0,32
3√(25/243) = √9 · √25/243 = √225/243
√0,32 < √225/243

զ) 5√(45/72) < 4√(45/32)
5√(45/72) = √25 · √0,625 = √15,625
4√(45/32) = √16 · √45/32 = √22,5
√15,625 < √22,5

Իռացիոնալ անհավասարումներ

√x > a
a > 0
{x ≥ 0
{(√x)² > a²

√x > a
a < 0
x ≥ 0
x ∈ [0; ∞)

√x < a
a > 0
{x ≥ 0
{(√x)² < a²

√x < a
a < 0
Լուծում չունի

560. Լուծեք հետևյալ անհավասարումները․

ա) √x < −3
Լուծում չունի

բ) √x < 3
{x ≥ 0 {x ≥ 0
{(√x)² < 3² {x < 9
x ∈ [0; 9)

գ) √x > −4
x ≥ 0
x ∈ [0; ∞)

դ) √x > 5
{x ≥ 0 {x ≥ 0
{(√x)² > 5² {x > 25
x ∈ (25; ∞)
561. Լուծեք հետևյալ ոչ խիստ անհավասարումները․

ա) √x ≤ −5
Լուծում չունի

բ) √x ≤ 1,1
{x ≥ 0 {x ≥ 0
{(√x)² ≤ 1,1² {x ≤ 1,21
x ∈ [0; 1,21]

գ) √x ≥ 0
x ≥ 0
x ∈ [0; ∞)

դ) √x ≥ −3
x ≥ 0
x ∈ [0; ∞)

562. Լուծեք անհավասարումները․

ա) √(3x + 1) < −3
Լուծում չունի

բ) 3√(x − 3) − √(1 − x) > −1
{x − 3 ≥ 0 {x ≥ 3
{1 − x ≥ 0 {x ≤ -1
Լուծում չունի
գ) √(7x − 2) ≥ −3
7x – 2 ≥ 0
7x ≥ 2
x ≥ 2/7
x ∈ [2/7; ∞)

դ) 2√3x + 5 < 1
{3x + 5 ≥ 0 {3x ≥ -5 {x ≥ -5/3 {x ≥ -5/3
{(2√3x + 5)² < 1² {4(3x + 5) < 1 {12x + 20 < 1 {x < -19/12
x ∈ [-5/3; -19/12)

ե) 3√(3x − 1) < 2√(1 − x)
3√(3x − 1) – 2√(1 − x) < 0
Լուծում չկա

զ) √(4x − 3) − 2 > 0
4x − 3 ≥ 0
4x ≥ 3
x ≥ 3/4
x ≥ 0,74
x ∈ [0,74; ∞)

564. Լուծեք անհավասարումները և ոչ խիստ անհավասարումները․

ա) √(3 + 11x) > 2
{3 + 11x ≥ 0 {11x ≥ -3 {x ≥ -3/11
{(√3 + 11x)² > 2² {3 + 11x > 4 {11x > 1 {x > 1/11
x ∈ (1/11; ∞)
բ) √(4 + 5x) ≥ 3
{4 + 5x ≥ 0 {5x ≥ -4 {x ≥ -4/5
{(√4 + 5x)² > 3² {4 + 5x > 9 {5x > 5 {x > 1
x ∈ (1; ∞)

գ) √(7x − 2) < 3
{7x – 2 ≥ 0 {7x ≥ 2 {x ≥ 2/7
{(√7x – 2)² < 3² {7x – 5 < 9 {7x < 14 {x < 2
x ∈ [2/7; 2)

դ) √(31 + 9x) ≤ 1
{31 + 9x ≥ 0 {9x ≥ -31 {x ≥ -31/9 { x ≥ -3,4
{(√31 + 9x)² ≤ 1² {31 + 9x ≤ 1 {9x ≤ -30 {x ≤ -30/9 {x ≤ -3,3
x ∈ [-3,4; -3,3)

565. Լուծեք անհավասարումները և ոչ խիստ անհավասարումները․

ա) √(10x + 3) > √(2x − 1)
√(10x + 3) – √(2x − 1) > 0
{10x + 3 ≥ 0 {10x ≥ -3 {x ≥ -3/10 {x ≥ -0,3
{2x − 1 ≥ 0 {2x ≥ 1 {x ≥ 1/2 {x ≥ 0,5
x ∈ [0,5; ∞)
բ) √(2 + 7x) ≥ 3√(4 + x)
√(2 + 7x) – 3√(4 + x) ≥ 0
{2 + 7x ≥ 0 {7x ≥ -2 {x ≥ -2/7
{4 + x ≥ 0 {x ≥ -4
x ∈ [-2/7; ∞)

գ) √(12x + 1) < 4√(2 + 5x)
√(12x + 1) – 4√(2 + 5x) < 0
{12x + 1 ≥ 0 {12x ≥ -1 {x ≥ -1/12
{2 + 5x ≥ 0 {5x ≥ -2 {x ≥ -2/5
x ∈ [-1/12; ∞)

դ) 2√(3 + 21x) − 5√(x − 2) ≤ 0
{3 + 21x ≥ 0 {21x ≥ -3 {x ≥ -3/21
{x − 2 ≥ 0 {5x ≥ -2 {x ≥ -2/5
x ∈ [-1/12; ∞)

Իռացիոնալ հավասարումներ

√x = a

ԹԱԲ՝
x ≥ 0
x ∈ [0; ∞)

√x² = a²
x = a²

Օրինակ 1՝
√(x + 1) = 4

ԹԱԲ՝
x + 1 ≥ 0
x ≥ -1
x ∈ [-1; ∞)

(√x + 1)² = 4²
x + 1 = 16
x = 15

Օրինակ 2՝
√(-3x – 3) = √(-2x – 9)

ԹԱԲ՝
-3x – 3 ≥ 0
-2x – 9 ≥ 0

{-3x – 3 ≥ 0
{-2x – 9 ≥ 0

{-3x ≥ 3
{-2x ≥ 9

{x ≤ -1
{x ≤ -4,5

x ∈ (-∞; -4,5]

(√-3x – 3)² = (√-2x – 9)²
-3x – 3 = -2x – 9
-3x + 2x = -9 + 3
-x = -6
x = 6
Լուծում չունի

549. Լուծեք հավասարումը․

ա) √(3x – 1) = 0

ԹԱԲ՝
3x – 1 ≥ 0
3x ≥ 1
x ≥ 1/3
x ∈ [1/3; ∞)

(√3x – 1)² = 0²
3x – 1 = 0
3x = 1
x = 1/3

բ) √(4x + 5) = 2

ԹԱԲ՝
4x + 5 ≥ 0
4x ≥ -5
x ≥ -5/4
x ∈ [-1,25; ∞)

(√4x + 5)² = 2²
4x + 5 = 4
4x = 4 – 5
4x = -1
x = -1/4
x = -0,25
գ) √(7 – 3x) = 1

ԹԱԲ՝
7 – 3x ≥ 0
-3x ≥ -7
x ≤ -7/-3
x ∈ [7/3; ∞)

(√7 – 3x)² = 1²
7 – 3x = 1
-3x = 1 – 7
x = -6/-3
x = 2

դ) √(-x – 1) = 3

ԹԱԲ՝
-x – 1 ≥ 0
-x ≥ 1
x ≤ 1/-1
x ∈ (-∞; -1]

(√-x – 1)² = 3²
-x – 1 = 9
-x = 9 + 1
x = -10

ե) √(-4 + 5x) = 2

ԹԱԲ՝
-4 + 5x ≥ 0
5x ≥ 4
x ≥ 4/5
x ∈ [0,8; ∞)

(√-4 + 5x)² = 2²
-4 + 5x = 4
5x = 4 + 4
x = 8/5
x = 1,6

զ) √-x = 1/2

ԹԱԲ՝
-x ≥ 0
x ≤ 0
x ∈ (-∞; 0)

(√-x)² = 1/2²
-x = 1/4
-x = 0,25
x = -0,25

550. Լուծեք հավասարումը.

ա) √x = 3

ԹԱԲ՝
x ≥ 0
x ∈ [0; ∞)

(√x)² = 3²
x = 9

բ) √x = 0

ԹԱԲ՝
x ≥ 0
x ∈ [0; ∞)

(√x)² = 0²
x = 0
գ) √x = -1

ԹԱԲ՝
x ≥ 0
x ∈ [0; ∞)

(√x)² = -1²
x = 1

դ) √2x = 1

ԹԱԲ՝
2x ≥ 0
x ≥ 0
x ∈ [0; ∞)

(√2x)² = 1²
2x = 1
x = 1/2
x = 0,5

ե) √(4x – 1) = 1

ԹԱԲ՝
4x – 1 ≥ 0
4x ≥ 1
x ≥ 1/4
x ∈ [0,25; ∞)

(√4x – 1)² = 1²
4x – 1 = 1
4x = 1 + 1
x = 2/4
x = 0,5
Լուծում չկա

զ) √(x + 2) = 1

ԹԱԲ՝
x + 2 ≥ 0
x ≥ -2
x ∈ [-2; ∞)

(√x + 2)² = 1²
x + 2 = 1
x = 1 – 2
x = -1

է) √(3x – 8) = 6

ԹԱԲ՝
3x – 8 ≥ 0
3x ≥ 8
x ≥ 8/3
x ∈ [8/3; ∞)

(√3x – 8)² = 6²
3x – 8 = 36
3x = 36 + 8
x = 44/3

ը) √(1 + 5x) = 7

ԹԱԲ՝
1 + 5x ≥ 0
5x ≥ -1
x ≥ -1/5
x ∈ [-1/5; ∞)

(√1 + 5x)² = 7²
1 + 5x = 49
5x = 49 – 1
x = 48/5

թ) √(x – 3) – 2 = 0

ԹԱԲ՝
x – 3 ≥ 0
x ≥ 3
x ∈ [3; ∞)

(√x – 3)² – 2² = 0²
x – 3 – 4 = 0
x = 3 + 4
x = 7\

553. Լուծեք հավասարումը.

ա) √(x + 1) = √(3x + 1)

ԹԱԲ՝
{x + 1 ≥ 0 {x ≥ -1
{3x + 1 ≥ 0 {3x ≥ -1 {x ≥ -1/3
x ∈ [-1/3; ∞)

√(x + 1)² = √(3x + 1)²
x + 1 = 3x + 1
x – 3x = 1 – 1
-2x = 0
x = 0

բ) √(-4x + 5) = √(-x + 1)

ԹԱԲ՝
{-4x + 5 ≥ 0 {-4x ≥ -5 {x ≤ -5/-4 {x ≤ 1,25
{-x + 1 ≥ 0 {-x ≥ -1 {x ≤ 1
x ∈ (-∞; 1]

√(-4x + 5)² = √(-x + 1)²
-4x + 5 = -x + 1
-4x + x = 1 – 5
-3x = -4
x = -4/-3
x = 4/3
Լուծում չունի

գ) √(3 – 3x) = √(4x – 10)

ԹԱԲ՝
{3 – 3x ≥ 0 {-3x ≥ -3 {x ≤ -3/-3 {x ≤ 1
{4x – 10 ≥ 0 {4x ≥ 10 {x ≥ 10/4 {x ≥ 2,5
Լուծում չունի
դ) √(−3x − 3) = √(−2x − 9)

ԹԱԲ՝
{−3x − 3 ≥ 0 {-3x ≥ 3 {x ≤ 3/-3 {x ≤ -1
{−2x − 9 ≥ 0 {-2x ≥ 9 {x ≤ 9/-2 {x ≤ -4,5
x ∈ (-∞; -4,5]

√(−3x − 3)² = √(−2x − 9)²
-3x – 3 = -2x – 9
-3x + 2x = -9 + 3
-x = -6
x = 6
Լուծում չունի

ե) √(5x + 2) = √x

ԹԱԲ՝
{5x + 2 ≥ 0 {5x ≥ -2 {x ≥ -2/5 {x ≤ -0,4
{x ≥ 0
Լուծում չունի

զ) √(3x + 2) = √2x

ԹԱԲ՝
{3x + 2 ≥ 0 {3x ≥ -2 {x ≤ -2/3
{2x ≥ 0 {x ≥ 0
Լուծում չունի

ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻ ԱՐՄԱՏ

Տրված a թվից թվաբանական քառակուսի արմատ կոչվում է այն ոչ բացասական թիվը, որի քառակուսին հավասար է տրված a թվին:

Նշանակում ենք այսպես՝ √a

Կարդում ենք՝ a թվից քառակուսի արմատ:

a -ն թիվն անվանում են արմատատակ թիվ:

√16=4 քանի որ՝ 4²=16

Բացասական թվից քառակուսի արմատ գոյություն չունի:

Եթե √a -ն իմաստ ունի, ապա √a≥0 և (√a)²=a

Առաջադրանքներ

1․Հաշվիր հետևյալ արտահայտության արժեքը՝

√36=8 քանի որ 8²=36

2․Հաշվիր թվաբանական քառակուսի արմատի արժեքը՝

√1=1 քանի որ 1²=1

3․Հաշվիր՝ √9000000=3000 3000²=9000000

Դասագրքից՝ 487, 488, 491, 494,

Անհավասարումների համախումբ

453. 2, 3, -5 թվերից ո՞րն է հետևյալ համախմբերի լուծում:

ա) [4 − 4x < 0
. [7x − 1 > 2

-4x < -4
x > -4/-4
x > 1

7x − 1 > 2
7x > 2 + 1
7x > 3
x > 3/7

[x > 1
[x > 3/7

. //////////\/\/\
—ο———ο—→
. 3/7 1

x ∈ (3/7; +∞)
2 ∈ (3/7; +∞)
3 ∈ (3/7; +∞)
-5 ∉ (3/7; +∞)

բ) [2 + 5x ≤ 0
. [x > 2
․ [3x = 0

2 + 5x ≤ 0
5x ≤ -2
x ≤ -2/5
x ≤ -0,4

3x = 0
x = 0

[x ≤ -0,4
[x > 2
[x > 0

\\\\\\ /////////|/|/|/|
——•——ο———ο—→
. -0,4 0 2

x ∈ (-∞; -0,4] ∪ (0; +∞)
2 ∈ (-∞; -0,4] ∪ (0; +∞)
3 ∈ (-∞; -0,4] ∪ (0; +∞)
-5 ∈ (-∞; -0,4] ∪ (0; +∞)

գ) [4 − 3x < x
. [6 + 6x > 7 − 7x

4 − 3x < x
-3x – x < -4
-4x < -4
x > -4/-4
x > 1

6 + 6x > 7 − 7x
6x + 7x > 7 – 6
13x > 1
x > 1/13

[x > 1
[x > 1/13

. //////////\/\/\
—ο———ο—→
. 1/13 1

x ∈ (1/13; +∞)
2 ∈ (1/13; +∞)
3 ∈ (1/13; +∞)
-5 ∉ (1/13; +∞)

454. Լուծեք համախմբերը:

ա) [3(1 + x) − 2 < 5(2 − 5x) − 3x
. [2(4 − x) − 3 > 4x − 7

3(1 + x) − 2 < 5(2 − 5x) − 3x
3 + 3x − 2 < 10 − 25x − 3x
3x + 25x + 3x < 10 – 3 + 2
31x < 9
x < 9/31

2(4 − x) − 3 > 4x − 7
8 − 2x − 3 > 4x − 7
-2x – 4x > -7 – 8 + 3
-6x > -12
x < -12/-6
x < -2

[x < 9/31
[x < -2

/\/\/\\\\\\\\
——ο——ο—→
. -2 9/31

x ∈ (-∞; -2)

բ) [2(3y − 1) − 1 ≥ 4 − 5y
. [6y − 6 ≤ 6(y − 1)

2(3y − 1) − 1 ≥ 4 − 5y
6y − 2 − 1 ≥ 4 − 5y
6y + 5y ≥ 4 + 2 + 1
11y ≥ 7
y ≥ 7/11

6y − 6 ≤ 6(y − 1)
6y − 6 ≤ 6y − 6
6y – 6y ≤ -6 + 6
0 ≤ 0

[y ≥ 7/11
[0 ≤ 0

. ////////
——•——→
. 7/11

x ∈ [7/11; +∞)

գ) [3x + 3 > 3(x + 1)
. [2x − 2 < 2(x − 1)

3x + 3 > 3(x + 1)
3x + 3 > 3x + 3
3x – 3x > 3 – 3
0 > 0

2x − 2 < 2(x − 1)
2x − 2 < 2x − 2
2x – 2x < -2 + 2
0 < 0

[0 > 0
[0 < 0

Լուծում չունի

դ) [4 − 4x ≥ 4(1 − x)
. [5x + 1 < 5x − 1

4 − 4x ≥ 4(1 − x)
4 − 4x ≥ 4 − 4x
-4x + 4x ≥ 4 – 4
0 ≥ 0

5x + 1 < 5x − 1
5x – 5x < -1 – 1
0 < -2

[0 ≥ 0
[0 < -2

ե) [3(2 − z) − 5z < −4(27 − 3) + z
. [6(z − 3) ≥ 4z + 3

3(2 − z) − 5z < −4(27 − 3) + z
6 − 3z − 5z < −108 + 12 + z
-3z – 5z – z < -108 + 12 – 6
-9z < -102
z > -102/-9
z > 11,(3)

6(z − 3) ≥ 4z + 3
6z − 18 ≥ 4z + 3
6z – 4z ≥ 3 + 18
2z ≥ 21
z ≥ 21/2
z ≥ 10,5

[z > 11,(3)
[z ≥ 10,5

. ///////\/\/\
—•——ο—→
. 10,5 11,(3)

x ∈ (11,(3); +∞)

զ) [x ≤ x + 5
. [4x − 3 > 3 − 4x

x ≤ x + 5
x – x ≤ 5
0 ≤ 5

4x − 3 > 3 − 4x
4x + 4x > 3 + 3
8x > 6
x > 6/8
x > 0,75

[0 ≤ 5
[x > 0,75